在线计算专题(02):数列、一元、多元函数极限的计算与连续性判定
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1、求数列的极限
例1 计算以下数列的极限:
输入表达式为
lim ((2n^(1/n)-1)^n)/(n^2), n->infinity
执行后的结果为1. 也可以将lim换成limit. 其中无穷大infinity也可以用两个字母“oo”表示.
例2 计算以下数列的极限:
输入表达式为
lim n/((n!)^(1/n)), n->infinity
执行后的结果为e.
例3 计算以下数列的极限:
输入表达式为
lim sum(1/(k^(1/2)),k=n^2 to (n+1)^2),n->infinity
执行后的结果为2. 前面也可以加上lim或limit来执行计算.
例4 计算以下数列的极限:
输入表达式为
product 1-1/k^2,k=2 to n,n->Infinity
执行后的结果为1/2.
2、一元函数的极限和连续性
例1 计算以下函数的极限:
输入表达式为
lim (e^(-x))*(1+1/x)^(x^2), x->infinity
执行后的结果为.
例2 指出以下函数的间断点及其类型.
从函数表达式可以看到, 为其间断点,输入表达式
lim (x^2-x)/(|x|(x^2-1)), x->0-
得如下结果
从图中可以看到
所以是跳跃间断点,并且从下面的图中还可以看到为无穷间断点. 比如,输入以下表达式可以验证. 即
lim (x^2-x)/(|x|(x^2-1)), x->-1+
计算得到结果如下.
从极限结果可以看到处左右极限分别为正负无穷大,并且图形中明确用箭头标明函数是趋于负无穷大.
【注】 对于左右极限不相等的极限,如果不区分左右极限,则计算会显示极限不存在,一般会直接分别给出左右极限值,如果存在则直接给出极限值. 如输入
lim (x^2-x)/(|x|(x^2-1)), x->1
显示极限存在,但是在图形中用小红空间圆圈标记为可去间断点. 如下图所示.
而输入
lim e^(1/(1-x)), x->1
则计算结果如下
标明极限不存在,但是有左极限为正无穷大,右极限为0.
例3 计算以下极限:
输入表达式为
lim (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)) / h^2,h->0
执行后的结果显示为. 以解析式形式计算得到结果.
3、多元函数的极限
例1 计算以下函数的极限:
输入表达式为
lim log(x+e^y)/((x^2+y^2)^(1/2)), (x,y)->(1,0)
执行后的结果为ln2.
例2 计算以下函数的极限:
输入表达式为
lim (x+y)/(x-y),(x,y)->(0,0)
执行后的结果显示函数的极限不存在. 用代入后,输入表达式
lim (x+k x)/(x-k x),x->0
计算得到结果为
表明取不同值,有不同的极限值,所以极限不存在.
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